Die Weizenkornlegende: Schach und exponentielles Wachstum

Schach Weizenkornlegende/Reiskörner

Die Weizenkornlegende erzählt von der Entstehung des Schachspiels im frühen Indien. Heute ist sie im mathematischen Sinne auch als „Schachbrettaufgabe“ bekannt und wird oft auch mit Reiskörnern auf dem Schachbrett erzählt.

Die Weizenkornlegende

Wir befinden uns im dritten Jahrhundert n. Chr. in Indien, wo der Herrscher Shihram sein Volk tyrannisierte und das Land in Armut und Hunger lebt.

Sissa ibn Dahir soll daraufhin ein Spiel erfunden haben, dass dem König aufzeigen sollte, dass er als mächtigste/wichtigste Person trotzdem abhängig von Bauern und anderen Figuren ist. Das heutige Schachspiel war geboren (so zumindest die Legende).

Shihram war begeistert von dem Spiel und erkannte sein Fehlverhalten. Als Dank gewährte er Sissa einen Wunsch, um sich für die Lehre und das neue Spiel zu bedanken. Dieser wünschte sich lediglich Reiskörner/Weizenkörner auf einem Schachbrett. Auf das erste Feld wollte er ein Korn, auf das zweite zwei Körner, auf das dritte vier Körner und so weiter. Je Feld sollte also die Menge an Reiskörner/Weizenkörner verdoppelt werden.

Shihram war überrascht von der vermeintlichen Bescheidenheit und sagte prompt zu. Nach einigen Tagen wurde dem König aus der Kornkammer zugetragen, dass diese Menge an Reiskörnern/Weizenkörnern unmöglich aufgetrieben werden könne.

Das Schachbrettproblem

Aus dieser Legende entstammt das Schachbrettproblem:

Wie viel Reiskörner bzw. Weizenkörner liegen auf dem gesamten Schachbrett, wenn die Anzahl der Körner pro Feld immer verdoppelt wird?

Die Antwort darauf ist durchaus interessant und der Grund, warum die Weizenkornlegende oft in der Schule genutzt wird, um exponentielles Wachstum zu erklären. Also rechnen wir das Ganze mal durch.

Die Rechnung

Wir haben auf einem Schachbrett insgesamt 64 Felder. Zunächst können wir damit beginnen, auf jedes Feld des Bretts die doppelte Anzahl des vorherigen zu legen. Auf das erste Feld natürlich erstmal 1 Korn, dann 2, dann 4, dann 8 usw. – bis zum 64. Feld.

Auf dem 64. Feld liegen dann 9.223.372.036.854.775.808 (das über neun Trillionen) Reiskörner/Weizenkörner. Eine unvorstellbar große Zahl. Doch wir müssen ja noch alle anderen Körner dazu addieren. Das lässt sich entweder mühsam einzeln machen, oder wir benutzen das Summenzeichen dafür.

Aufgeschrieben als Summe beträgt die Anzahl aller Reiskörner/Weizenkörner auf (wohl eher über) dem Schachbrett:

Schachbrettproblem: Die Lösung

Die Anzahl aller Reiskörner/Weizenkörner beträgt also: 18.446.744.073.709.551.615 

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